A Pi története

A π (pi) egy matematikában és fizikában használt valós szám. A leggyakrabban használt, euklideszi geometriában a kör kerületének és átmérőjének hányadosaként definiálják, ami a körök hasonlósága miatt minden kör esetén azonos.

A matematikai analízisben a körre való hivatkozás elkerülése érdekében szokás először a koszinuszt egy végtelen hatványsor összegeként definiálni, majd a π-t koszinusz legkisebb pozitív zérushelyének kétszereseként rögzíteni.

A görög π betű a „περίμετρος” (perimetrosz, azaz kerület) szót rövidíti. Ezt a jelölést először William Jones használta 1707-ben, majd Leonhard Euler által 1737-ben lett igazán ismert. A π-t ritkábban Ludolph-féle számnak is nevezik, a német matematikus Ludolph van Ceulen tiszteletére, aki a π-nek minél több tizedesjegyét próbálta meghatározni.

A π irracionális, sőt, azon belül transzcendens szám.

A π számértéke

A π ötven tizedesjegyig:

3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 …

Mivel a π irracionális szám, tizedestört alakja végtelen és nem ismétlődik periodikusan. Néhány tizedesjegynyi pontosság többnyire elegendő a mérnöki és tudományos munkákhoz, de modern számítástechnikai módszerekkel már 5 billió (5 × 10¹²) jegyét is kiszámították,^[1] mégsem fedeztek fel a számjegyek közt semmilyen mintázatot.

A kínai matematika

(i. e. 200 - i. sz. 1300)

Készítette: Tiger Szandra (matematika BSc)

A kínai számírás jelei és jegyei az idők folyamán sokat változtak, de még ma is nagyjából a háromféle számírást használják.

A 10-es alapú számrendszerben írnak a hétköznapi életben, míg a hivatali életben pedig a bonyolult hieroglif számjegyeket használják, szintén kiírt helyi értékes 10-es alapú számrendszerben. A XV. században a kínai számolótábla pálcikáinak szerepét átvették az abakusz golyói.

A kínai abakuszt, egy a golyókat tartó rudakra merőleges elválasztó fal két részére osztja. Minden rúd egy-egy 10-es helyi értéket képvisel. Az elválasztó fal bal oldalán az 5 golyó mindegyike egyet ér, a jobb oldalon lévő két golyónak egyenként 5 egység az értéke. A „golyós számológépen” tizedes törtekkel is lehet számolni az egyesek rúdjának alkalmas megválasztásával. A tizedes törteket Kínában valóban ismerték, ugyanúgy írták azokat is, mint az egész számokat, tehát helyi értékekkel.

Az i.e. II-XII században fejlődött ki a függőleges és vízszintes pálcikákból összeállított számjegyekkel való számírás, ez már helyi értékes számírás, méghozzá 100-as alapú.

Kétségbevonhatatlan tény, hogy a tudományok fejlődésének sok évszázados gazdag történelme an Kínában. Azonban a kínaiak matematikai ismereteiről nagyon keveset tudunk, ugyanis i.e. 212-ben Qin Shi Huangdi császár megparancsolta, hogy minden könyvet égessenek el. A parancsot szerencsére nem mindenhol hajtották végre.

A kínaiak matematikai ismeretei a távoli ókorba nyúlnak vissza. A kínai matematikatörténész, Li Jan állítása szerint ezek egészen az i. e. XXV. századig nyomon követhetők. Az ókori matematika történetében adatok vannak a tízes számrendszerről, a nagy számokkal végzett műveletekről, a számolási eszközökről (számolótáblák, csomók) létezéséről, körző, vonalzó és szögmérő használatáról.

A könyvégetés után, a Han-dinasztria (i. e.202 i.sz. 220) idején megjelent néhány matematikai témájú könyv, melyek valószínűleg a korábban elveszett könyvek tudásán alapulnak. A nyugati Zhou dinasztia idejéről (i. e. 1046-ből) maradt fenn a legkorábbi matematikai könyv, amely túlélte a könyvégetést, ez pedig a Ji King (Változások könyve) volt. Ebben 64 bináris hatos egységet írnak le filózófiai vagy misztikus célból.Az egységeket hexagrammákkal ábrázolják, melyek törött vagy folytonos vonalakból állnak és a jint és a jangot jelképezik.

A fenn maradt könyvek közül a legfontosabb a „Matematika kilenc könyvben” vagy, ahogy néha nevezik: „Matematika kilenc fejezetben”.

Ez a könyv 246 szöveges feladatot tartalmaz, melyek felölelik a mezőgazdaság, a munkaadás, a geometria tárgykörétől kezdve a kínai pagodák toronymagasságának és hosszának arányait, a mérnöki tudományokat, a statisztikai adatgyűjtés területét, valamint a derékszögű háromszögekről és a π-ről is tartalmaz anyagot. Használják benne a Cavalieri-elvet is több mint ezer évvel azelőtt, hogy Cavalieri színre lépett volna. Matematikailag bizonyítja a Pitagorasz-tételt és képletet tartalmaz a Gauss-eliminációhoz is. Egyesek szerint a könyv szerzője Csang Can (i.e. 152), aki összegyűjtötte és rendszerezte benne korának matematikai ismereteit. A művet többször is átdolgozták, így meglehetősen sajátos matematikai enciklopédiává vált. A későbbiekben az állami hivatalokba lépők számára alapvető tankönyvvé nyilvánították. A mű sokrétegűségét minden bizonnyal az okozta, hogy az egyes könyveket a különféle hatóságok hivatalnokainak szánták. A későbbi kiegészítések sokán a könyvek témák tekintetében egységesebbé váltak. A mű tárgyalásmódja törvényszerű: megfogalmazza a feladatok feltételeit és feleletet is ad rájuk.

A műben használták a π=3 értéket. I. e. I. században Liu Sziu a π=3,1547 értéket használta, a II. században már a π= √10 értéket használták. Csang Heng úgy vélte, hogy a kör kerületének négyzete úgy aránylik a körülírt négyzet kerületének négyzetéhez, mint 5:8. A III. században a beírt sokszögek oldalhosszának kiszámításával Liu Huj, az π=3,14159 értékhez jutott.Vei Si a π értékét már hét számjegyre határozta meg.

Megismerkedhetünk az arányos osztással, a számok reciprokjai arányában való szerkesztéssel, a számtani sorozat összefüggésével, amelyre ekkor még nincs szabály. A számtani sorozatok összefüggésének szabályai Csang Ciu-ciang (VI. század) értekezésében található.

A negyedik könyv a „Sao huang”- egy téglalap oldalát számítja ki, ha adott annak területe és a másik oldala. Kifejti a négyzet- és a köbgyökvonás szabályait, meghatározza a kör sugarát, ha adott a kör területe. Ezen kívül a mű foglalkozik még a különféle testek térfogatával, a munkaerő-, anyag- és szállítóeszköz- szükségletével is.

A hatodik részben az arányos adókivetésről szóló feladatokkal ismerkedhetünk meg. Megismerkedtet a lineáris egyenletre és egyenletrendszerre vezető feladatokkal. A lineáris egyenletrendszerek megoldási szabálya a nyolcadik részben tökéletesedik ki a „fang-cseng” szabályban.

A „fang” szó négyzetet is jelent, jelen esetben az egyenletrendszer együtthatóiból alkotott mátrixot. A fang-cseng szabály egy bizonyos mátrixos megoldási módszer. A mátrixműveleteknél elkerülhetetlen a negatív szám ismerete. Ez a rész bevezeti az előjeles számokat és közli az összeadás és kivonás „cseng-fu” szabályát is (cseng-fu= pozitív/plusz-negatív/mínusz).

A kínaiak minden számítást számolótáblán végeztek el, a negatív számok jelölésére más színű vagy alakú számolópálcikákat használtak, az írásban pedig elütő színű hieroglifákat.

Az utolsó könyvben a Pitagorasz-tétel alkalmazásaival találkozhatunk. E fejezethez a III. századi kitűnő kínai matematikus, Liu Huj írt egy kommentárt, sőt kiegészítette a könyvet egy tízedik fejezettel. Ez egy geometriai tárgyalású fejezet, amely tartalmazza a pitagoraszi számhármasok egy képzési módját és másodfokú egyenletre vezethető feladatokat. Tehát ez a könyv tartalmazza mindazokat a matematikai ismereteket, amelyek a kínai gyakorlati élethez szükségesek voltak.

A Han-dinasztia korát követő 1000 évben, amely a Tang -dinasztia-val kezdődött és a Szung-dinasztia-val zárult, a kínai matematika virágkorát élte. Zu Chongzhi mellett ebben a korban számos fontos matematikus működött Kínában, köztük: Yi Xing, Shen Kuo, Chin Chiu-Shao, Zhu Shijie, és mások. Shen Kuo a differenciál- és integrálszámítás, a trigonometria, a metrológia és a permutációk módszereit is használta már a problémamegoldásoknál és egy alkalommal kiszámította mekkora földterületre lehet szükség bizonyos harci alakzatokban a katonák számára, valamint a lehető leghosszabb hadjárat idejét, adott élelemszállítási kapacitás mellett.A mágikus négyzet nevű matematikai játék eredete az ókorig kísérhető vissza .Valószínű, még sokkal régibb. Indiából az arabok közvetítésével kerülhetett Európába, de a Kínában talált I-csing nevű könyvben, amely mágikus eljárásokat és jóslatokat tartalmaz, szintén találunk egyet.

Ez az írásos hagyomány pedig i.e. 1100 táján keletkezett az itt talált mágikus négyzet:

1300 körül Kínában publikálják az első "n" négyzetszám összegét, és lineáris egyenletrendszereket oldanak meg mátrixok segítségével.Kínai matematikusok alkottak egy hipotézist (amit néha Kínai sejtésnek neveznek): p akkor és csak akkor prím, ha . Az igaz, hogy ha p prím, akkor (ez a kis Fermat-tétel egy speciális esete, ha a = 2), ám ennek megfordítása, s így a sejtés egészében, hamis, mert ha akkor még nem biztos, hogy m prím.Pierre Fréderique Sarrus francia matematikus találta 1820-ban az m = 341 ellenpéldát (Fermat-álprímet) (érdekesség, hogy Bolyai János is foglalkozott e problémával, bár efféle felfedezéseiből semmit nem publikált). Ellenőrizhető, hogy ez a 2 alapra tényleg álprím, mert teljesül ugyan, de nem prím.Széles körben állítják, hogy a Kínai Sejtést már kb. 2000 évvel Fermat 1600-as évekbeli munkája előtt megtalálták. Annak ellenére, hogy a sejtésnek „csak a fele igaz”, figyelemre méltó, hogy az ősi idők matematikusai már ismerhették. Néhányan pedig állítják, hogy az előző nézet egy félreértés eredménye, és valójában a Kínai Sejtés sokkal később, 1872-ben keletkezett (Ribenhoim, 1995).

Források:

v  K.A.Ribnyikov: A matematika története

v  Sain Márton: Nincs királyi út

v  www.sdt.sulinet.hu

v  Wikipédia